震撼！GPT - 6 Astra攻克哥德巴赫猜想相关重大难题

徽声在线报道

数学领域迎来震撼性突破！

近日，GPT-6 Astra在数学界掀起轩然大波，其在哥德巴赫猜想相关研究上取得重大进展，引发全球数学爱好者和专业人士的广泛关注。

网友Captain Sude兴奋地宣布：Astra成功证明了关于刘维尔函数的一项类哥德巴赫猜想，这一成果犹如一颗重磅炸弹，在数学界激起千层浪。

具体而言，Astra无条件证明了哥德巴赫猜想的Liouville弱形式，这一证明过程并非依靠强大的算力进行暴力破解，而是展现出了极为优雅的逻辑推理，令人惊叹不已。

更值得一提的是，这个证明已经顺利通过了Lean 4的形式化验证，这意味着从逻辑层面来说，该证明是绝对正确的，为这一成果的可靠性提供了坚实保障。

难以摘取的数学明珠

哥德巴赫猜想，这个困扰人类数学家近三个世纪的数学难题，宛如一座难以攀登的高峰。早在1742年，哥德巴赫在与欧拉的信件中首次提出了这个猜想：“任一大于2的偶数，都可以写成两个素数之和。”

为了攻克这一猜想，无数数学家倾尽全力，付出了巨大的心血。从哈代、李特尔伍德等数学巨匠，到陈景润证明“1 + 2”，人类始终在努力接近那颗数学皇冠上的明珠——“1 + 1”，但至今仍未完全成功。

为何哥德巴赫猜想如此难以攻克？原来，素数的分布规律极其复杂，充满了不确定性，就像一个神秘的谜团，让数学家们难以捉摸。

既然直接死磕素数的分布规律行不通，数学家们便开动脑筋，另辟蹊径，创造出一套独特的“替身文学”——刘维尔版本的哥德巴赫猜想。

为了更好地模拟素数的特性，数学家们引入了一个神奇的工具——刘维尔函数。

这个刘维尔函数有着独特的定义，它用特定的方式来描述一个数字与质数因子的关系。具体来说，对于一个数字，我们统计它包含的质数因子的总个数，然后根据这个个数的奇偶性来确定刘维尔函数的值。

如果这个数字包含的质数块个数是偶数，那么λ(n) = 1；如果包含的质数块个数是奇数，那么λ(n) = -1。

有趣的是，所有的纯质数，比如2、3、5、7、11等，它们的刘维尔函数值绝对都是 -1。然而，反过来并不成立，例如8、12的λ值也是 -1，但它们并不是纯质数。

2018年，在知名数学论坛MathOverflow上，有人提出了一个弱化版的哥德巴赫猜想：

对于每一个大于2的偶数N，是否总能找到两个正整数a和b，使得N = a + b，并且λ(a) = λ(b) = −1。

如果经典的哥德巴赫猜想是正确的，那么这两个素数的刘维尔值必然都是 -1，所以这个“刘维尔猜想”在一定程度上是基于经典猜想的延伸，从逻辑上来说也应该是正确的。

但这一次，数学家们放宽了条件，不再要求加数必须是纯素数，只要它的质因子个数是奇数就行。这一放宽看似简单，实则为后续的研究带来了新的挑战和机遇。

突破黎曼阴影：AI给出惊世两页纸证明

虽然放宽了条件，但这个弱化版的猜想依然极其困难，让众多数学家望而却步。问题的核心在于，数学家们试图研究这种正负交替的符号在加法组合下是否会像抛硬币一样互相抵消，从而揭示隐藏在加法背后的深层秩序。这就像是试图打通数学中“乘法积木”与“加法组合”之间的桥梁，让两个看似独立的领域相互沟通。

直到2024年，数学家Alexander P. Mangerel终于取得了突破。他在一篇论文中证明：对于所有足够大的偶数，这个猜想是成立的。

论文链接：https://arxiv.org/abs/2404.12117

然而，Mangerel的证明存在着两个明显的限制。

1. “足够大”的限制：这意味着他的证明并不适用于那些比较小的偶数，对于小偶数的情况，这个猜想是否成立仍然未知。

2. “GRH”依赖：他的证明严重依赖于广义黎曼猜想。也就是说，只有在广义黎曼猜想成立的前提下，他的结论才成立。而广义黎曼猜想本身至今尚未被完全证明，这无疑给Mangerel的证明带来了一定的不确定性。

而这一次，Astra和Captain Sude的团队成功突破了这两个枷锁，为这一领域的研究带来了新的曙光。

一开始，Astra给出了一份仅仅只有2页纸的PDF文件，这份简洁而精悍的论文中，宣布了一个惊人的成果：

无需广义黎曼猜想，可以无条件证明：所有能被4整除的正整数，都可以表示为两个刘维尔值为 -1的正整数之和！

在PDF中，Astra巧妙地利用了Mangerel论文中的一个“无条件相关性界限”，并结合了一个极其精妙的下降法，构建了定理的核心逻辑。

这个定理的核心逻辑采用了反证法：假设存在一个奇数m（不被3整除），并且在4m这个规模下，没有任何一对和为4m的数字的刘维尔值都是 -1。

接下来，Astra开始逐步推导，步步紧逼。

1. 因为乘以4不会改变刘维尔值，所以m本身也不能被拆成两个负号的数。

2. 因为乘以2会翻转刘维尔值（多了一个质因子2），所以2m不能被拆成两个正号的数。

3. 接着，AI通过构造a + b = m且λ(a) = λ(b) = 1的情况，并选取差值b - a最小的一对，利用它们与3的整除关系，强行推导出了一个矛盾！

它发现，如果假设4m没有这样的拆分，那么通过乘法与加法的交错逼近，最终会在局部迫使所有的数字都带有相反的符号，这直接违背了Mangerel之前证明的界限。

就这样，仅仅使用初等的代数推导，甚至高中生都能看懂推导过程，Astra就发现了无条件成立的情况，这一成果令人拍案叫绝。

48小时，彻底攻克全偶数域

而且，Astra的突破并未就此停止。

据项目作者Captain Sude透露，Astra在第一天证明了“4的倍数”情形后，第二天又找到了一条全新的初等证明路线，直接将结果推广到了全部大于2的偶数！

这一次，Astra给出了一个核心主张：

其中，没有任何“充分大”的限制，没有有限例外集，所有偶数，无条件成立！

而它的证明思路，更是让人眼前一亮，展现出了极高的智慧和创造力。

Astra并没有使用暴力穷举的方法，也没有依靠把以前的解析估计压缩得更紧，而是巧妙地玩了一步“结构转化”。

AI的逻辑链条如下：

第一步：寻找替罪羊。AI先证明，对于每一个大于3的素数p，都存在正整数u、v，使得2p = u + v，并且它们的刘维尔值都是1。如果不成立会怎样？这就构成了“加法符号模式的缺失”，为后续的推导埋下伏笔。

第二步：逼迫现出原形。把刘维尔函数延拓到有限域Fp上，定义一个函数G。因为前面的“加法分解不存在”，这个函数G在局部被逼出了乘法对称性缺陷（Defects），这一缺陷将成为后续推导的关键线索。

第三步：完美的交换律。这是证明中最惊艳的一笔！因为乘以 -2再乘以 -3，和乘以 -3再乘以 -2是一样的。AI利用这个“可交换”的性质，让两条路径互相抵消，最终把所有的非零缺陷全部消灭，使得函数G的性质更加明确。

第四步：向全局传染。利用一个下降引理，把局部成立的乘法规则，像病毒一样传播到整个有限域，强迫函数G变成一个全局严格的乘法对象，从而扩大了证明的范围。

第五步：致命一击（二次剩余制造矛盾）。既然G变成了严格的乘法函数，那么任何数的平方，其G值必须是1。然而，根据二次互反律，能在有限域内找到一个素数ℓ，它明明是个“平方数”，但因为它是素数，它本身的刘维尔值又必须是 -1。

于是，1 = -1。矛盾爆发！

至此，一开始“分解不存在”的假设被彻底粉碎。Liouville–Goldbach猜想在全偶数域无条件成立！

这条把加法阻碍转化为乘法刚性的论证路线，简直太优雅了，体现了高度抽象和直觉的顶级思维，让人不得不感叹AI在数学领域的巨大潜力。

已通过Lean 4形式化验证

这一次，Astra还同时提交了Lean 4的完整形式化验证，为这一成果的可靠性提供了双重保障。

通过Lean 4验证，意味着逻辑上绝对正确，不存在任何漏洞。知乎上UP主@SUNNY99立马对Astra开源的v1.0.0版本进行了独立复核，结果令人震撼：Lean证明可以完美重新编译！

其中，最终定理与论文主张完全一致。代码里没有任何“sorry”（在Lean中代表未填补的坑）、没有乱造的自定义数学公理、所有的公理依赖完全正常，249个偶数的数值冒烟测试全部通过，进一步证明了这一成果的严谨性。

看到这里，可能有些朋友会问：那这代表哥德巴赫猜想彻底被解决了吗？

我们必须严谨地说：还没有。

目前解决的，是哥德巴赫猜想的刘维尔弱化版本。

从“质因数个数为奇数的合数”跨越到“纯正的质数”，中间仍然隔着一道难以逾越的天堑。经典的哥德巴赫猜想，依然是那颗高高悬挂的数学果实，等待着数学家们去摘取。

但是，这绝不意味着这次突破不伟大。

首先，在纯数学意义上，它为整个数论搭起了一座打通“乘法积木”与“加法组合”的宏伟桥梁，为后续的研究提供了新的思路和方法，这可能就是未来攻克原版哥德巴赫猜想的核心钥匙。

其次，在AI意义上，这是一个历史性的奇点时刻。一直以来，我们认为AI擅长的是海量记忆和暴力计算，比如下围棋、算蛋白质折叠。但这一次，Astra展现出了惊人的数学直觉和品味，它像一位极具天赋的数学家，写出一篇让人类数学家直呼优雅的证明，为AI在数学领域的应用开辟了新的道路。

参考资料：

https://x.com/captain_sude/status/2099890355613155420

https://www.zhihu.com/question/2083895373177931200/answer/2084099614551102975

编辑：Aeneas 大卫